II 
body Aj, . . . , Ag, B. Avšak body právě napsané platí za 69 průsečíků, 
jak se snadno spočítá; vedle toho je pak ještě 12 průsečíků. Běží o to 
zjistiti, z d a-1 i každý z těchto 12 průsečíků je sku- 
tečně desátým dvojnásobným bodem křivky 
svazku (1). 
16. Nežli to obecně rozhodneme, projednáme tento zvláštní případ: 
vezměme za B jeden bod D (v odst. 12.). Křivky mající A^, . . . , Ag, D 
za dvojnásobné se rozpadají. Body C nalezneme určením křivky {J^) 
určené body Ag. . . . , Ag, D. Tato křivka je geometrické místo těch bodů 
na kubických křivkách svazku určeného osmi uvedenými body, jež mají 
s devátým bodem base společný tečnový bod. Ježto D leží na Jacobiánu 
sítě určené body .Ag, je tento bod zároveň devátým bodem base, 
t. j. všechny křivky uvedeného svazku se v Z) dotýkají. Avšak dle věty 
odst. 3. dotknou se další tři tečny vedené z tečnového bodu příslušného 
bodu D křivky v jejích průsecích s Jacobiánem. Rozpadne se tedy křivka 
(Jj) a to tak, že jednu její součást tvoří zmíněný Jacobián (J^J. Dnihou 
součást tvoří kubická křivka {Jí') svazku mající D za bod dvojnásobný, 
neboť tečna v D stává se pro tuto křivku neurčitou, tak že každý její bod 
lze pokládali za tečnový a ostatní dotyčné vyplňují tedy celou tuto křivku. 
Křivka (JJ) protne křivku (J) mimo A.^ ■ ■ ■ , Ag. D v 11 bodech. Křivka 
(J"í protne křivku (J) mimo Aj, . . . , Ag, D ještě v jednom bodu D'. 
Těchto dvanáct průsečíků tvoří hledané body C pro daný bod /). Neboť 
prvých 11 jsou další dvojnásobné body kubických křivek svazku určeného 
body Aj, . . . , Agi křivka (J/'} s kteroukoli z nich je totiž mající na 
křivce (J) dva dvojnásobné body, totiž dva body D. Bod D' pak lze po- 
kládat! za bod C, neboť křivka (J/') dvojnásob počítaná je /v® mající na 
křivce (J) další dvojnásobný bod, totiž Z)'. 
Pro tuto zvláštní volbu bodu B je tedy odpověď na hořejší otázku 
kladna. Je však třeba povšimnouti si ještě jedné věci: jestliže obrácené 
je známo, že bod C je jeden z bodů D, lze tvrditi, že bod B je buď také 
jedním z bodů D nebo jedním z bodů D' . Ježto totiž křivka [Jí příslušná 
bodům A^, ... Ag, B obsahuje bod D, jsou body A.^, ... Ag, B, D dvoj- 
násobné body křivky Zv®; i obsahuje křivka [Jí příslušná bodům A.>, . . . ,Ag, 
D také bod B. Ale (J,,) v tomto případě se rozpadá na Jacobián (,/j^') 
(v. nahoře) a kubickou křivku; i protne (Jg) křivku (J) jen v bodech D 
a v jednom bodu Z)'; B pak je nutně jeden z nich. 
17. Nyní lze přistoupili k zodpovědění obecné otázky. Vyjděme 
z bodů Aj^, . . . , Ag, B, pří čemž výslovně předpokládejme, že B není žádný 
z bodů Z), D' . Uvažujme libovolný průsečík X obou křivek (J), (JJ. 
Tímto bodem prochází jediná křivka Zv® svazku (1). Vzhledem k definici 
křivek (Z), {Jí dotýká se tato ZZ® v A' kubické křivky určené body A^, ... , 
Ag, X a také kubické křivky určené body A.^, ... , Ag, Z>, X. Avšak tyto 
dvě křivky nemají v bodě X společnou tečnu; neboť to by znamenalo, že 
V leží na Jacobiánu {Jí) a je tedy jedním z bodů Z); dle předchozího by 
XLII. 
