cet invariant pouvant, dans certains cas, faciliter le calcul, tou- 
jours si laborieux, des fonctions symétriques des racines d’une 
équation, nous exposerons d’une manière rapide les procédés 
que nous avons employés. 
Nous nous sommes, tout d’abord, appuyé sur cette proposition 
qui sert de base à la méthode de Cauchy. 
Soit V une fonction symétrique des racines a, b, ... 1, d’une 
équation f(x) = 0; si l’on élimine de V toutes les racines, à 
l’exception de a, par exemple, et que cette fonction prenne la 
forme V = F (a), la valeur de V est égale au reste de la division 
de F (a) par f (a) (*). 
De plus, dans le cours du calcul, nous avons introduit de 
notables simplifications, qu’il serait souvent possible d’obtenir, 
dans d’autres questions analogues, et qui réduisent considérable- 
ment la longueur des opérations à effectuer. 
Soit 
a* ■+■ o,x® -+- OjX* - 4 - fljX «4 = 0 , 
une équation du quatrième degré, dont les racines sont æ,, æ. 2 , 
Xj, X 4 ; représentons par P le produit des sommes des racines 
de cette équation, prises trois à trois. 
Nous aurons 
P = (X, -H X. -+- X3) (X, -+- X„ - 4 - Xi) (X, -t- X3 - 4 - X4) (Xj - 4 - X3 - 4 - X4). 
Comme 
X, -4- Xa -4- X3 -4- X4 = — «,, 
nous aurons aussi 
P = {— I)* («, X|) (a, -4- Xj) (rt, -4- X3) (o, -4- Xi). 
P = «î - 4 - aj 2 x, -4- «Î2 x,x. 2 -4- «12x1X2X3 -4- XiX^XjXi 
= u\ — n\ -4- aî«2 — «)«3 - 4 - «i 
= «^«2 — ai «5 -4- «4. 
(*) Cauchy, Ane. Exerc. de Math., 4' ann., p. 103. Celte méthode, exces- 
sivement élégante, est d’ailleurs rapportée dans la plupart des traités 
d’Algèbrc. V. p. ex. Serret, Cours d’ Algèbre supérieure, 4'éd., t. P’’, p. 595. 
