Si nous représentons par X,, Xj, X5, X4, X5, Xg, les sommes 
des racines, prises deux à deux, de l’équation du quatrième degré 
fi (a:) = 0, 
nous trouvons 
P'=6Î+6Î^X,+6‘2X,X.+6î2X,X2X5+6?2X,X.X3X* 
612X1X2X3X4X5-+- XjX^XjXjXjXj. 
Les coefTicients des différentes puissances de 6, qui figurent dans 
le second membre, sont des fonctions symétriques des racines 
de l’équation 
fi (x) = 0; 
par suite, nous pourrons les exprimer en fonction rationnelle 
de Xi et des coefficients de l’équation 
f{x) = 0. 
11 nous faudrait, pour cela, calculer l’équation qui a pour racines 
les sommes, prises deux à deux, des racines d’une équation du 
quatrième degré. 
Nous pourrions employer la méthode générale, indiquée par 
Lagrange, pour la solution de cette question (*) : cependant elle 
conduit à des calculs fort longs. 
Le procédé suivant est beaucoup plus rapide. 
Supposons que l’équation du quatrième degré soit décomposée 
en deux facteurs du second, c’est-à-dire que l’on ait : 
— Ax“ -H — Cx +- D = (x^ — PiX -H f/l) (x^ — ]hx +- q^). 
En se servant des formtdcs que nous avons calculées autre- 
fois (**), on trouve que l’équation cherchée peut s’écrire 
x" — 5 Ax® +- (5 A'+- 2B) x* — A (4B +- A') x= +- (2 A^B +- B^ — 4D +- AC)x' 
— A (AC -+- B" — 4D) X +- (ABC — A'D — C') = 0. 
(*) Traité de la résolution des équations numériques, 3' éd., p. d05. 
(“) Remarques sur ta théorie des fractions continues périodiques (Bull, de 
l’Acad. rov. de Belg., t. XLIU, p. 538). 
