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II. 
SUR l’évolution. 
1. Dans ses recherches de Géométrie supérieure, M. Folie a 
rencontré une relation curieuse entre les points d’intersection 
d’une transversale avec les côtés de deux triangles dont l’un est 
inscrit et l’autre circonscrit à une conique (*). 
Il a donné à cette relation, analogue à l’une des formes qui 
expriment l’involution , le nom d’ÉvoLUTioN. 
Nous nous proposons de présenter, sur ce sujet, quelques 
remarques qui permettront peut-être de généraliser celte théorie 
et de la rattacher à l’étude des propriétés des formes algébriques. 
Rappelons tout d’abord que lorsque six points d’une ponctuelle 
droite, I, 1', 2, 2', 3, 3', sont en évolution, il existe entre ces 
six points la relation 
12'.25'.31' = r2.2'ô.5'l. (!) 
Cette relation peut s’écrire de la manière suivante 
2'l (O) 
^■rô~ 25'' 15'’ 
On a donc ce théorème : 
I. Lorsque six points H ', 22', 33' sont en évolution, le rap- 
port anharmonique des points 2', 1', 1, 3, est égal, au signe près, 
au rapport anharmonique de leurs conjugués 2, 1, 1', 3'. 
On voit encore que 
12'. 25'. 51' l'2.2'5.5'l 
11 '.22'. 55'"^ ~ ri .2'2.5'5 ’ 
Donc 
II. Le rapport anharmonique du troisième ordre des points 
(') Bull, de VAcad. roi/, de Bely., l. XLMI, p. tiOO. 
