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11 22', 33', est égal, au signe près, au rapport anharmonique 
des points l'I, 2’2, 3'3 (*). 
L’égalité (2) nous permet de mettre la relation d’évolution 
sous différentes formes, en faisant usage des propriétés eonnues 
du rapport anharmonique. 
On sait, en effet, que si a et [3 désignent les rapports anhar- 
moniques des quatre points, on a 
a P = O , 
«1 Pi = 2a,p,, 
OCj ■+" p2 2. 
De ces équations, on déduit les suivantes : 
1 5 . 3'2 . 2'1 ' — 1 '5'. 52'. 21 = 2 (11'. 22'. 33'), (4) 
21 '. 5'1 (2'!'. 31 — 2'l . 3 1 ') + 2'1 . 31' (21 . 3'1 ' — 21'. 3'1) = 0. (S) 
On se rappellera peut-être (jue nous avons défini l’évolution 
de la manière suivante ; 
III. Lorsque six points a, a', b, b', c, c', sont en involution, 
le conjugué harmonique du point a, par rapport ci b', c', forme, 
avec les cinq autres points, une évolution (**). 
Cette définition, ou plutôt, cette propriété des points en évo- 
lution, permet d’écrire la condition d’évolution sous forme de 
déterminant. 
Soient ).q, ?| , g-o, u , , vo, vi, six points en involution. 
On a, comme l’on sait, 
î 1 ^ n ■t' ^'1 ^0^1 
' 1 f^o + 
I '-^0 ■+■ ^1 
(fi) 
Soit Aq, le conjugué harmonique de /o, par rapport à p,, Vj, 
on a l’égalité 
2/o‘'o — (^0 -+- -^o) (gi -t" i'd = 0 ; 
d’où , •l'o (gi '■'i) — 2u,y, 
2Ao — (ftj l'I) 
(*) But/, de VAcad. roy. de Belg., l. XLIV\ p. 470. 
(”) Ibid., t. XLIV, p. 237. 
