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III. 
SUR UNE INTÉGRALE TRIPLE. 
Nous avons démontré autrefois la relation suivante 
27.27—1 
1.2 
^27-3^1-+- 
27.27— 1 .27—2.27—5 
1. 2.5.4 
B2,- B^3- 
27.27 1 
Ï72 
BiB27_5î 
(i; 
où Bj, Bj, ... Bj,_, représentent les nombres de Bernoulli (*). 
M. Catalan en a déduit, par des transformations élégantes, 
l’intégrale définie suivante (**) : 
ff 
’(æ-r-7/)’’ * — (x — 
■ 1)(e^^i'— 1) 
dxdxj = (—1 )' 
27-1-1 
i-t i 
47.27 — 1 
B27-,. (2) 
Nous nous proposons de faire, de la formule (1), une application 
différente, qui nous conduit à une intégrale triple. 
Supposons que le nombre 7 soit impair. 
Le nombre des termes du second membre de l’équation (1) 
est pair, et ces termes sont égaux deux à deux. 
On a donc 
— (27-4-1 )B2,^_,=2 
27-27-1 „ „ _ 27.27-1.27-2.27-5,^ „ 
B27_3DiH „ — B2,_iiB3-t- ■ • • 
1.2 " ' ■ 1.2. 5. 4 
27.27 — 1...7 — 2 
1.2. ..7 — 1 
Or, on a, comme l’on sait 
B. 
Z’” x^'‘~'dx 
(*) Bull, de l’Acad. roy. de Belg., t. XLl, p. 1017. 
(“) Notes d’ Algèbre et d’ Analyse, p. 15. 
-) 
