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Au moyen de cette relation , l’équation ( 5 ) peut s’écrire : 
r2f/,2« — 1 Z’” /’* x^''~^ydxdy 
27 . 27 — 1 . 27 — 2 . 27 — 5 
“ x^~^]fdxdy 
1 .2. 5. 4 
0 U 
27.27 — 1...7+2 7+1 7 — 1 
(e2,rr_l)(g2.Ty_l) 
xijf-hlxdy 
7 — 1...7+2 ^ 7+1 ^ 7 — 1 f '’° xiy'>~^dxdy q 
— \ *'~2~’ 2 J J — l)(e*'^ — 1)J’ 
ou bien encore 
0 O 
] 
(27-2)(27-5)(27-4) 
H“ 
1.2.5 
Mais on a aussi : 
{x-i-yf'’~^ = x^'‘~^ + 
x^i-hfn ^ 
(27-2)(27-5)...(7+1) 
27 — 2 
1 
x^~'^y-\- 
1.2.5. ..7 — 2 
27 — 2.27 — 5 
X’î/' 
1-2 
^2î-y_, 
{x—yp-^=^x^'^-^- 
2(1 — 2 2f/ — 2.2o — 5 
_L_ x^î-y+...-t- 2 / 5 î -2 
La quantité, entre parenthèses, dans l’égalité ( 4 ), est la diffé- 
rence de ces deux développements, arrêtés à leurs 7 — 1 pre- 
miers termes. 
Mais la formule de Poisson (*) donne 
m 
m .m — 1 
a - + — a^-'S H 
1 ^ 1.2 
= (p -h i) C,„_ p+ia” 
avec la condition a -t- P = 1 . 
Si nous développons 
*( 5 ^ + ••• + C„^px”‘ '’p'' 
* z”‘~^~'dz 
(p + az]’'*+‘ ’ 
+ P a + P 
(') Recherches sur la probabilité des Jugements. V. aussi Catalan, Mélanges 
mathématiques (Mém. de la Soc. rov. des Sciences, 2 ' série, t. Il, p. 346 ). 
