l>o iliéorème est un cas particulier d’une propriété plus géné- 
rale, due, pensons-nous, à M. Baioscin. Aussi ne donnons-nous 
cette proposition que comme application d’une méthode qui 
permet de découvrir plusieurs propriétés des déterminants, 
comme nous allons le faire voir. 
D’ailleurs, c’est à propos de recherches sur la théorie des 
formes algébriques qu’ont été découverts, par Lagrange et par 
Gauss, les premiers cas particuliers connus d’un théorème impor- 
tant sur les déterminants, le théorème de la multiplication (*). 
On nous permettra peut-être d’introduire ici une démonstra- 
tion, nouvelle, pensons-nous, de eette propriété et qui se présente 
assez naturellement à l’esprit, si l’on se rappelle l’histoire de la 
découverte de cette règle, vérifiée d’ahord, dans deux cas parti- 
culiers, par les illustres Géomètres que nous venons de citer, 
et étendue ensuite au cas général par Cauchy et Binet. 
Théorème. — Si la règle de multiplication des déterminants 
est vraie pour deiu déterminants d’ordre n — I , elle est vraie 
pour deux déter minants d’ordre n. 
Soient 
et 
A, = ± [«h«2ï ••• [6u6,i ... 6„„] 
A = ± [c„C2î ... c„„], 
a Ai 
On a les 
identités 
sui\ 
antes : 
1 
A„ -f- 
^15-4 11 
1 e,„A,„ = 
= A|, 
ID) 
A,i 
«.jA,. -I- 
«„.A,„ = 
= 0, i = 
1 A 
A,.= 
= A, 
1± [r„ 
<‘ti ■■■ '’/i/il t 
De 
CiiAii 
r 1-2 A 12 
• C|„A,| 
AA„ 
= 
c>*<» 
• Ci„ 
r,.i 
(‘ni 
(*) Lsürssge, Recherches d’ Arithmétique (Mém. de Berlin, 1773. OEiivres, 
t. lit, p. 723). — Gaiss, üisquisitiones Arilhmeticœ (Werke, 1'"' Band, 
S. 127, 504 U. tr.). 
