respondantes de ei dont la rangée restante est composée 
des n premiers éléments de la rangée correspondante de A. Leur 
somme est égale au déterminant d’ordre n, obtenu par la suppres- 
sion, dans de la (n — 1 )«è»ne colonne, affecté du signe de ( — \ . 
En effet, dans le cas actuel, p — n — \ , k = n -h \ 
w 1 H- P { I — fc) = [n -t- 1 ] [1 — n -H 1 ] -i- « — i 
= n — I — (n '!)(« — 2). 
La colonne a supprimer est donc bien la (n — i 
Quant au signe, il est déterminé par ( — Or ici 
(k — 2)p = (n — 1)2. Le signe est donc celui de ( — 1)"—'. 
La méthode que nous avons employée sert aussi à démontrer 
la propriété suivante : 
Soit un déterminant A, à n rangées et n -+- k colonnes, k étant 
plus petit que n. On forme (p) déteiminants du ordre, en 
prenant successivement n — p rangées, composées des « pre- 
miers éléments des rangées correspondantes de A, etp rangées, 
composées des n derniers éléments des rangées correspondantes 
de A dont on ne s’est pas servi. 
Jm somme de ces (l) déterminants est égale à k déterminants 
d’ordre n, formés à l’aide de n colonnes de A, telles que la somme 
des seconds [indices soit pk. 
Développant ces (^) déterminants, de la niéme manière que 
précédemment, on les transforme en (") autres déterminants, 
qui sont nuis à l’exception de k d’entre eux, dont les seconds 
indices sont successivement 
1, 2, 5, ... {n — pk), (n -h — pk), ... n, /i -t- I, 
1 , 2, 3, ... [n + \ — pk), (w -t- 3 — pk), . . . n, n -h 2, 
1, 2, 3, ... {n-\-k — 1 — pk), (« -+- fc -+- 1 — pk), ... n, n k. 
La somme de ces indices est -h pk. 
La proposition est donc démontrée. 
