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Pour obieiiir le cas considéré par M. Graindorge, il faut poser 
X = sin X. 
On trouve d’autres cas semblables en posant : 
X = cosa;, X = Shx, X = Chx, 
où Sh et Ch désignent les sinus et cosinus hyperboliques. 
Il m’a paru digne d'intérêt de considérer encore les cas par- 
ticuliers, où la fonction X est égale à l’amplitude des fonctions 
elliptiques, ou à l’une d’elles. Pour cela, en posant : 
df 
i sin^ 
F(v) = 3C, 
où 0 ^ /i <C 1 , 
on a les quatre fonctions suivantes ; 
ç, = anix, A = sin y, fi = cosy, v = \/] — Æ^sin'^y = Ay. 
En les différentiant deux fois par rapport à x, on trouve : 
y' = v, X'=av, = — k^X[i, 
y"= — >" = — i -H — v\ 
Maintenant si l'on pose successivement : 
X = y, X = >, X = p, X = v, 
on trouvera à l’aide des formules qui précèdent les équations 
dilférentielles suivantes et leurs solutions complètes : 
d}y ^ Aamxf/^ sin ain x cos am x 
am X dx 
am X 
y = 0, 
«X 
(•) 
am X 
d^ii cos am x A am x du 
-H '■2 ^ ; (1 H- k^ COS' am x) M = 0, 
dx^ sm am x dx "'y . 
b 
ax 
sin am x 
