considérés comme cas particuliers de théorèmes relatifs aux 
systèmes différentiels les plus généraux, sont ici démontrés 
directement de façon que la théorie des systèmes du premier 
ordre se développe d’une façon indépendante. 
Le point de départ est la réduction des systèmes à la forme 
canonique. Cette forme est absolument générale; dans le cas des 
systèmes où l’inconnue ne figure pas, elle coïncide avec la forme 
en involution, mais il n’en est plus de même quand l’inconnue 
figure explicitement. 
C’est sur cette forme canonique que j’établis le théorème 
fondamental d’existence que, pour abréger, j’appelle théorème 
de Cauchy généralisé, et la démonstration que j’en donne fournit 
immédiatement le théorème suivant, qui joue un rôle capital 
dans toute la théorie : 
L’intégration d’un système d’équations aux dérivées partielles 
du premier ordre et à une seule inconnue peut toujours se 
ramener à celle d’une seule équation du premier ordre. 
Théorème qui était déjà connu dans le cas des systèmes où 
l’inconnue ne figure pas; il avait été démontré par Lie au moyen 
de la théorie générale des caractéristiques, puis, par Mayer, en 
se servant d’une méthode d’intégration de Jacobi. 
Au moyen du théorème de Cauchy généralisé, on arrive à 
définir le « problème de Cauchy » relatif à un système quel- 
conque du premier ordre, ce qui donne à l’intégration un sens 
très précis. On peut dire que l’on a effectué complètement cette 
intégration quand on sait traiter effectivement ce problème de 
Cauchy. 
On en déduit aussi l’étude des intégrales singulières et l’on est 
amené à ranger de telles intégrales en plusieurs catégories, sui- 
vant qu’elles sont simplement, doublement,... singulières. 
Enfin, il me permet d ‘étudier d’une façon précise la transfor- 
