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Si l’on connaît p intégrales du système (2), la recherclie des 
m — P — 1 autres intégrales se ramène à l’intégration d’un 
nouveau système qui n’a plus que m — p — 1 équations. 
3. Recherche de l'intégrale ayant une fonction initiale donnée. 
— Supposons qu’en Mq (xJ, ac®, x“) les coefïîcients P soient 
analytiques et que P, ne soit pas nul. Le théorème de Cauchy 
démontre l’existence d’une intégrale analytique en et se rédui- 
sant, pour X, = xJ, à une fonction 
e(x,, 
analytique en x$, ..., x“,, et donnée à l’avance. Soit H cette inté- 
grale que nous nous proposons de chercher. 
Supposons qu’on ait trouvé l’intégrale générale 
<1*. = c'% 4-, = c“, = e“ 
du système ( 2 ), et désignons par 'fj, «fai • • ••« 'f»-i les valeurs 
initiales (en x'I) des fonctions <i>. 
Les fonctions « sont distinctes; en effet, s’il existait entre elles 
une relation 
fl = '''(fn fî, f.,-i), 
la fonction 
' 1 ( 4 -,, 4 -,,..,) 
serait une intégrale de ( 1 ) qui, en x°, se réduirait à 9 ,; ce serait 
donc 4>i, de sorte que l’on aurait 
4.. = T(<t-, 
ce qui ne peut exister puisque les fonctions <I> sont supposées 
distinctes. 
On aura 
e = F(4>,,4<„, ...,4<„.,), 
F étant une fonction inconnue qu'il faut déterminer de façon 
que l’on ait identiquement 
w 
F(fii fî. •••• f...-ij. 
