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Cherchons à le résoudre par rapport au plus grand nombre 
possible de dérivées et examinons les différents cas qui peuvent 
se présenter. 
Il peut arriver que l’on soit ainsi conduit à un résidu d’é(|ua- 
(ions ne contenant plus les dérivées et ne se réduisant pas à des 
identités. 
Si parmi ces équations il y en a qui ne contiennent pas z, le 
système (1) est évidemment incompatible. 
Supposons qu'elles contiennent toutes z. Considérons- les 
comme des équations en z; elles devront être vérifiées par toute 
intégrale de(I), de sorte que si elles n’ont pas de solution com- 
mune, le système (1) sera encore incompatible. Si elles ont une 
solution commune, ce sera la seule ititégrale possible du sys- 
tème (1), on la portera dans les équations (I); si elle ne les 
vérifie pas toutes identiquement, il y aura encore incompatibilité, 
et enfin, si elle les vérifie toutes identiquement, ce sera la seule 
intégrale du système (1) qui se trouvera ainsi intégré par des 
résolutions d’équations finies. 
En dernier lieu, il y a le cas où le résidu d’équations ne con- 
tenant pas les/} n’existe pas, c’est-à-dire où le système (l)est 
résoluble par rapport à un certain nombre de dérivées. Donc : 
Théorème. — Étant donné un système d’équations du premier 
ordre, on peut toujours, par des résolutions d’équations finies, 
constater son incompatibilité, ou l'intégrer ou le mettre sous la 
forme 
I Pi fl * J Pm) ù, 
! pi /a I J S'i , . . . , 3T,,, , Z , Pjji+i , . . ■ , p,n) = 0, 
' P /A ~~ f I , Xi, • . . , X,„, Z, Pf/.+ ll • • • 5 Pm) 0. 
Le problème de l’intégration ne subsistant que pour les sys- 
tèmes de la forme (2), nous ne nous occuperons plus maintenant 
que de tels systèmes. 
Mous ferons remarquer, en outre, que la résolution du sys- 
tème (1) peut fournir quelquefois des équations qui .se décom- 
