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El nous pouvons énoncer !a propriété suivante : 
Théorème. — Étant donné un système quelconque du premier 
ordre, par une suite limitée de calculs algébriques consistant en 
résolutions d’équations finies, on peut toujours constater qu'il est 
incompatible, ou trouver toutes ses intégrales, ou ramener son 
intégration à celle d'un système canonique. 
Dans la suite, nous ne considérerons plus que des systèmes 
canoniqîies, puisque c’est pour eux seuls que le problème de 
l’intégration existe véritablement. 
12. Propriété fondamentale de la forme canonique. — Étant 
donné un système canonique S, en passant au second ordre, 
nous obtenons deux sortes d’équations. 
Les premières expriment les dérivées D au moyen des déri- 
vées A. Nous les appellerons les équations du second ordre 
de S. 
Les autres sont les équations 
[Pi — Pj — fj] = 0, 
qui sont au plus du premier ordre. Nous les appellerons équa- 
tions d’intégrabilité ; ces équations sont d’ailleurs des consé- 
quences algébriques des équations S. 
Supposons qu’on passe au troisième ordre, c’est-à-dire qu’on 
dérive, par rapport à toutes les variables, les équations du second 
ordre de S. Nous aurons, comme pour le second ordre, des 
équations résolues par rapport à toutes les dérivées D du troi- 
sième ordre. 
.Mais certaines d’entre elles sont sûrement obtenues plusieurs 
fois; en égalant deux à deux ces valeurs d’une même dérivée D, 
on aura de nouvelles équations d’intégrabilité ne contenant, 
comme dérivées du troisième ordre, que des dérivées A et qui 
semblent, a priori, devoir permettre d’exprimer certaines d’entre 
elles au moyen des autres. 
Nous allons montrer qu’il n’en est rien, c’est-à-dire que ces 
