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équations d’iniégrabilité se réduisent à des identités comme 
conséquence algébrique des équations du premier et du second 
ordre, et qu’il sc passera un fait analogue pour tous les ordres. 
Ainsi, nous nous proposons de démontrer ce théorème dont 
l’importance capitale apparaîtra dans le chapitre suivant. 
Théorème. — Étant donné un système canonique S, les équa- 
tions d'intégrabilité relatives à un ordre quelconque n se réduisent 
à des identités en vertu des équations d’ordre inférieur à n de S. 
Par hypothèse, cette propriété est vraie pour n = 2 (c’est la 
définition du système canonique). Pour démontrer qu’elle est 
générale, supposons-la vraie pour les ordres 2, 3, ...,n, n-t- \ 
et démontrons qu’elle est vraie pour l’ordre n -t- 2. 
Soit 
Pn+Ï ' 
dx, 
'3xj- ...ax/ 
J:, zt 0 
«O -+- ••• -t- = « -H 
-H ••• d= 0 
une dérivée D d’ordre n -i- 2 pouvant être obtenue plusieurs 
fois. On aura toutes les équations d’intégrabilité qu’elle fournit 
en égalant toutes ses valeurs à l’une d’entre elles. 
Considérons la dérivée d’ordre n -i- 1 
. «I- S'i 
ÙI, DX-2 
C’est certainement une dérivée D, car si p > p, ses p. pre- 
miers indices a sont les mêmes que pour de sorte que 
leur somme n’est pas nulle et, si p p, ses p premiers indices 
sont 
«i, i , 0 ... 0, 
de sorte que leur somme 
cfj «P — 1 = n -H 2 — 1 == n -f* 1 
ne peut pas encore être nulle. 
