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Multiplions par ^ et faisons la somnne des équations ana 
logues pour f = I, 2, m. Nous obtiendrons 
i=i 
ipi dxi 
^ ^ ^ 
î^i ^Pi ^Pj fXj 
En partant de l’autre équation, on aurait obtenu de même 
34> (/F ■="• JF 2>^Z 
y — -- — -+- \ y — — 0 ^ 
dx. .''p, .^p; .''X. 
la somme double est la môme dans les deux équations; en 
retrancbani, il reste donc 
c'xi' dP\ 
il W. 
dXf 
i>p. dxj 
ou, plus simplement, 
[F,<t.] = 0. 
Étant donné un système 
Fj==0, F.. = 0, F^ = 0 
que nous supposerons non résolu, mais résoluble par rapport à 
des dérivées (sans quoi le problème de l’intégration n’existerait 
pas), nous obtiendrons un système équivalent en lui ajoutant 
toutes les équations 
[F.,F;] = 0. 
Supposons qu’elles ne soient pas toutes des conséquences 
algébriques des équations F. Nous aurons un nouveau système 
et nous devrons nous assurer qu’il est résoluble par rapport à 
des dérivées, car, dans le cas contraire, le problème serait ter- 
miné. Sur ce nouveau système, nous pourrons recommencer et, 
finalement, nous arriverons à un système 
(5) . . . . F, = 0, F, = 0, F^ = 0 
