( 33 ) 
dans laquelle a, n’est pas nul, est une dérivée de /),,etque toute 
dérivée D pour laquelle a, = 0, est une dérivée de 
prise uniquement par rapport aux variables 0 = 2 , 
Il en résulte qu’on obtiendra certainement toutes les équa- 
tions du système 8 prolongé indéfiniment en prenant les dérivées 
de E| par rapport à toutes les variables et les dérivées de 
Ej, E^, par rapport aux seules variables x^, 
Toute équation appartenant au système et formée d’une autre 
façon sera une conséquence algébrique de celles que nous 
venons de former par ce procédé. 
Convenons de désigner par l’ensemble de l’équation E| et 
de toutes ses dérivées ; par 8Î, l’ensemble des équations Ea, E^; 
par 8'/ l’ensemble des équations 8’, et de toutes leurs dérivées 
par rapport aux variables ïj,..., x„, et enfin par E l’ensemble 
des équations 8 et de toutes leurs dérivées. 
Ceci posé, et pour plus de netteté, nous allons décomposer la 
démonstration en quatre parties. 
1“ D’après le théorème de Cauchy, l’équation E, définit sans 
ambiguïté une intégrale analytique 0 quand on se donne la 
fonction analytique ©[(xg, ...,x„) à laquelle elle doit se réduire 
pour x^ = x“. 
Nous allons nous proposer de déterminer 0| de façon que 
l’intégrale correspondante de E, vérifie, non seulement E,, 
mais aussi toutes les autres équations de 8 et se réduise à 
® J • • • 1 ^m) • • • 1 ^/J.’ 
Pour que cette dernière condition soit réalisée, il faut et il 
suffît que ©I se réduise à 0 pour xl a^. Supposons qu’il en 
soit ainsi. La fonction f, ne contient que les dérivées ...,p 
et les valeurs en xî,Xj, ...,x“ de z et de ces dérivées peuvent 
être calculées sur 0| en faisant, au préalable, Xj = xl, ..., 
x^= x^,, c’est-à-dire peuvent être calculées sur 0. Ces valeurs 
initiales sont donc z‘^,p°^^„ ...,p“; d’après les hypothèses faites, 
f, sera analytique en x°, ..., x“ , ...,p’„, de sorte que l’on 
sera rigoureusement dans les conditions d’application du théo- 
rème de Cauchy et qu’on obtiendra une intégrale ©, analytique 
et unique. 
O 
