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2® ©doit vérifier les équations Si- Rcmplaçons-y z par 0; 
elles deviennent des identités qui continueront à être des iden- 
tités quand on y fera æ, = x". Comme ces équations ne con- 
tiennent [)as pi, cela revient à faire x, = a® dans les équations Si, 
ce qui donne un système S|, puis à y remplacer z par 0 dans 
laquelle on aurait également fait x, = x°, c’est-à dire par 0, ; 
donc 0, doit vérifier le stjslème Si obtenu en faisant x, = x® 
dans Si- 
Réciproquement, sui)posons (pie 0i vérifie Si- 0i vérifie toutes 
les équations dérivées de Si, équations qui ne sont que les 
équations S/ dans lesquelles on aurait fait Xj = x®. Autrement 
dit, en remplaçant z par 0 dans les équations S'/, on olitient des 
équations qui se réduisent à des identités si l’on y fait Xi = xJ. 
D’autre part, 0 étant solution de E,, vérifie identiquement les 
équations if lesquelles restent encore des identités en y faisant 
Xi = xî. 
Comme toutes les équations il sont des équations S',' ou<f |, 
ou des conséquences algébriques de ces équations, on peut dire : 
Si, dans toutes les équations il, on remplace z par 0, on obtient 
des éyalités qui deviennent des identités si l’on ij fait\y = x®. 
Pienons une équation E,(< = 2, 5, p.) et considérons ses 
dérivées successives par rapport à x, 
p.-f = é), ^(p._/;.) = o, = ... 
Ju J ôX I 
Ce sont des équations il, de sorte que si, dans p^ — f, on 
remplace z par 0, on obtient une fonction de x, , Xa, ..., x,„, 
analytique en x®, ...,x;;, et qui s’annule identiquement ainsi que 
toutes ses dérivées par rapport à x, quand on y faitx, =xj. 
Cette fonction est donc identiquement nulle, ce qui démontre 
que 0 vérifie toutes les équations Si- Donc : 
La condition nécessaire et suffisante pour qu’une intégrale 0 
de l’écpiation Ei soit une intégrale du système 8, est que su 
fonction initiale 0^ soit une intégrale de 8|. 
5“ Démontrons maintenant que 8| est canonique. Les équa- 
