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qui, d’après le théorème de Cauchy, admettra une et une seule 
intégrale se réduisant à 9 pour = x^. 
La démonstration est donc terminée. Ce théorème est une 
extension du théorème de Cauchy relatif à une seule équation. 
Pour abréger, nous l’appellerons théorème de Cauchy généralisé. 
17 . Problème de Cauchy. — Considérons, dans l’espace 
à wx -t- 1 dimensions, une multiplicité ponctuelle M„. à 
m — fx dimensions, supposons que ses équations soient mises 
sous la forme 
?l 5 • • • 5 -Tin) , 
râ +1 5 • • • ) ) » 
+ « » • • • 5 ^m)l 
Z = f x„,) 
et cherchons à voir s’il existe une intégrale de 8 passant par 
c'est-à-dire se réduisant à tp si l’on y fait x^=<pi, ..., 
~ 
Faisons le changement de variables 
X( Xyn P/i X^^j = , ••., x,„ = x,„. 
On aura un nouveau système 8' 
— = p^ — /•;=^o, p'^ — f'^ = 0 
que devra vérifier z exprimée au moyen de nouvelles variables, 
et Z devra maintenant se réduire à ŸC^/i+i» •••> O pou>’ = 0, ..., 
x'^ = 0. Comme 8' est canonique (§ 13), en général, d’après le 
théorème de Cauchy généralisé, cette intégrale existera et sera 
unique, de sorte que : 
Etant donné un système canonique 8 à m variables et g équa- 
tions, et, dans l'espace à m -t- 1 dimensions, une multiplicité 
ponctuelle il y a, en général, une et une seule surface 
intégrale passant par 
