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C'est la recherche de cette surface intégrale qui constitue ce 
qu’on appelle le problème de Cauchy. C’est le problème le plus 
général que l’on puisse se poser sur la détermination d’une 
intégrale et qui soit sûrement résoluble. 
D’après le calcul précédent, on peut généralement ramener, 
par un changement de variables, au cas où les équations de 
sont 
X, = x^ = x^, Z = 9(x^+,,...,x„), 
c’est-à-dire à chercher une intégrale qui est définie comme il a 
été indiqué dans l’énoncé du théorème de Cauchy généralisé, 
A partir de ce moment, chaque fois que nous chercherons à 
traiter le problème de Cauchy, ce qui sera d’ailleurs le but prin- 
cipal que nous proposerons d’atteindre, nous le prendrons sous 
cette forme réduite. C’est ce que nous avons déjà fait dans le 
cas des équations linéaires (§§ 3, 4, 6, 7). 
18. Réduction à des équations successives. — La démonstra- 
tion du théorème de Cauchy généralisé nous fournit en même 
temps une propriété d’une grande importance. 
Reprenons les systèmes successifs 8, 8i» et soient 
. . . Pi 
e> . . • Pt x„,, Zf .. ■ f p,„)^ 
Cfi . . ' P/M > • • • 5 ^/i+1 > • • •! •Tm) Py.+1 5 • • • >Pin) 
les équations obtenues en prenant seulement la première de 
chaque système. 
D’après ce qui a été dit, pour avoir l’intégrale 0 qui vérifie 8 
et se réduit à 9(x^^,, ..., x„) en x“, ..., x^, on devra considérer 
une suite de fonctions 
® • 1 X,„) , ® /x-l{x fl, , • . • , X,„) , . • . , 0i(Xj , . . . , X ,„) , €>[X| , . . . , X ,„) 
