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Le (héorème de Cauchy généralisé fournit de telles intégrales, 
mais rien ne prouve a priori qu’il les fournisse toutes. 
S’il existe des intégrales analytiques et ne pouvant pas être 
obtenues par l’application du théorème de Cauchy, nous les 
appellerons intégrales singulières. 
Considérons un système 8 non résolu, mais auquel on aurait 
appliqué la méthode du | 14 de façon à le compléter. Il est alors 
formé de g. équations 
F. = 0, F, = 0, ..., F/, = 0 
résolubles par rapport à g dérivées, et cette résolution fournit un 
système canonique. 
Convenons de désigner par (îj, ^ 2 , ..., <5,,, tous les détermi- 
nants fontionnels de la forme 
D(F,,F„...,F^) 
obtenus en prenant toutes les combinaisons jx à p de P\,P 2 ,--, Pm- 
Soit 'F une intégrale analytique de 8, c’est à -dire analytique 
dans certaines régions de l’espace à to -i- 1 dimensions. Dans une 
de ces régions, prenons un point arbitraire Mq et désignons par 
élément de l’intégrale en Mq l’ensemble des valeurs æj, ..., ar®, 
Z®, ...,pl, que prennent les x, z et les p pour W en ce point, 
et supposons que ne soit pas telle que l’une des fonctions F 
cesse d’être analytique en chacun de ses éléments (*). 
Supposons que les 5 ne soient pas tous identiquement nuis 
pour tous les éléments de W. On pourra alors trouver un 
point Mo tel que, pour l’élément correspondant de 'F, tous les F 
soient analytiques et que l’on ait 
D(F,,F„...,F^) 
) Pas • • • • , Pa^j ) 
D’après le théorème général sur les fonctions implicites, les 
(*) Il peut exister de telles intégrales, mais nous ne les étudierons pas. 
