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équations F pourront être résolues par rapport 
en donnant 
(8 ) • • • Pot f«ti Poi fcr.it • ■ ■ t PcCp. fctjj^ t 
les /"étant analytiques pour les valeurs initiales x®„ 
z^t pX> • •• 3c de 2 et des autres p et se réduisant respective- 
ment à p^,, ...,p“^ pour ces valeurs initiales. 
Si 8 est indécomposable, le système résolu auquel nous arri- 
vons est certainement canonique, car s’il ne l’était pas, il donne- 
rait des équations complémentaires et les autres déterminations 
qu’on en pourrait tirer pour p_^, , ....p^^^, n’étant pas analytique- 
ment distinctes de celles que nous considérons, conduiraient 
aussi à des équations complémentaires qui, analytiquement, ne 
seraient pas distinctes des premières, de sorte qu’il y aurait des 
équations complémentaires distinctes des équations F et qui 
seraient vérifiées par toutes les intégrales de 8. ce qui est con- 
traire aux hypothèses faites sur ce système. 
Considérons la fonction 'F; elle doit vérifier l’un des systèmes 
que l’on obtient en résolvant 8 par rapport à p„^ . . . , p^ , et 
comme il n’y a que 8' pour lequel sc réduisent à 
rè.» •••» rè/, pouraj, ...,xl,s«, p^,, ..., cette intégrale véri- 
fie 8. 
Si nous désignons par ,...) la fonction à laquelle elle 
se réduit en x“^, ...,x^ , on peut dire que est une intégrale 
de 8', analytique en x?, ..., et se réduisant, en x“, , .... à 
la fonction •••) elle-même analytique en x^,, ... 
Inversement, cherchons à définir une intégrale de 8', analy- 
tique en X®, ..., a®„, et se réduisant en x®,, ...,x*^ à la fonction 
...). Les valeurs en x °, ..., x®. de z et de ses dérivées p^, ..., 
calculées au moyen de tj;, sont précisément 2 °, p^, ..., et, d’après 
ce que nous avons vu, les fonctions /„,, sont analytiques 
en xJ, ..., x®„,z®, p^,, ...; de sorte que, par l’application rigoureuse 
du théorème de Cauchy généralisé, on peut affirmer que 8' 
possède une intégrale analytique et une seule ayant la fonction 
initiale L’intégrale ainsi calculée est donc identique à 
