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L’iniégrale étant une intégrale donnée par le théorème de 
Cauchy, n’est pas singulière. Nous en tirons cette conclusion : 
Pour qu'une intégrale soit singulière, il faut et il suffit qu’elle 
annule identiquement tous les déterminants B, en faisant toutefois 
la restriction que les équations du premier ordre 
= 0 , (îj — 0 , . . . , = 0 
ne soient pas toutes des conséquences algébriques des équations 
du système 8 , de façon que celui-ci possède des intégrales non 
singulières. D’ailleurs, ce fait ne peut, en général, se présenter 
que pour des équations dont les premiers membres sont des 
puissances de certaines fonctions. En simplifiant les équations, 
on le fera disparaître. Nous arrivons ainsi à ce théorème : 
Les solutions singulières du système 
(8) . . • . Fi = 0, Fi = 0, ..., F/, = 0 
supposé tel que les équations [F,, F^] en soient des conséquences 
algébriques, sont les intégrales du système du premier ordre 
F, = 0, F, = 0, ..., F^ = 0, 
= 0 , ==: 0 , . . . , (îy = 0. 
Supposons qu’on cherche à mettre ce système sous forme 
canonique. Il pourra se présenter trois eas. 
S’il est incompatible, c’est que 8 n’a pas de solutions singu- 
lières. 
S’il s’intégre algébriquement, c’est que 8 a une ou un nombre 
limité d’intégrales singulières. 
Enfin, s’il se ramène à un système canonique 8 i, c’est que 8 
aura une infinité d’intégrales singulières qu’on obtiendra en 
cherchant toutes les intégrales analytiques de 8 i> 
Mais 8 i peut avoir à son tour des intégrales analytiques 
singulières fournies par un système 82 obtenu en ajoutant à 8 | 
