( '^7 ) 
Comme les soluiions du premier sont solutions du second, 
nous pouvons nous borner à eelui-ei. Il y a des intégrales qui 
dépendent d’une fonction arbitraire d’une variable et qui sont 
des intégrales simplement sit)gulières de l’équation donnée. Mais 
il a aussi des intégrales singulières, car les équations d corres- 
pondantes sont 
(82) /'3 == O , ]H = 0, = 0. 
Comme les c(|uations 8 | en sont des conséquences algébrique.«, 
on a ainsi 82 qui admet l’intégrale générale z= c'®. Ces inté- 
grales sont doublement singulières pour 8 . 
Revenons aux intégrales non singulières d’un système cano- 
nique. Si est une telle intégrale, on pourra trouver un élément 
^ii 3',„, Z®, y;,, ..., y;’ tel (jue 8 soit résoluble par rapport 
à p. dérivées, y)j, y;.j, par exemple, et donne des fonctions 
fl, fi, ■■•,f^ analytiques en x% ...,3r?„, z”, , • • • , /4 
Soit ..., x„,) la fonction initiale de et soit 
y.(^A*+i» •••’ ^'0 une fonction dear^,,, et de 
V constantes arbitraires assujettie à la seule condition d’étre ana- 
lyti(|ue en . . ., j"., a®, et de s’annuler identi(|uement 
pour (/., = . 
Dans 8, considérons, comme des variables, non plus seule- 
ment les X mais aussi les a et appliquons le théorème de Caueby 
généralisé; il existera une intégrale 
(^l 5 • • • } ^ m , e, , . . . , 
analytique en a°, et se réduisant en xJ, 
à la fonction tj; -t- . 
Si on donne aux a leurs valeurs initiales, vient se con- 
fondre avec et, de ce que est non seulement une fonction 
analytique des x mais aussi des a, résulte, qu’étant donné à 
l’avance un nombre a, on pourra trouver des nombres r, r^, ..., 
