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r„, a,, pj, p.^, tels que pour toutes les valeurs des x et des a 
satisfaisant aux inégalités 
I a:, — xî 1 < r,, 1 x,„ — j». | < r,„ 
! «1 — oï I < Pi . • • • . I «V — «î I < Pv 
on ait toujours 
I '»■' — 'I' I < «• 
C’est ce que nous exprimerons en disant que l’intégrale 'Jj'' 
est inliniment voisine de l’intégrale Ainsi, toute intégrale non 
singulière possède des intégrales infiniment voisines. 
Si une intégrale n’en possède pas, elle est foreément singulière. 
Cette condition est suffisante mais non nécessaire. 
Par exemple, si le système 8 possède des intégrales double- 
ment singulières, le système 8| qui admet des intégrales dépen- 
dant d’arbitraires a pour intégrales non singulières les inté- 
grales simplement singulières de 8, celles-ci possèdent done des 
intégrales infiniment voisines. 
23. Transformation d’un système où figure la fonction incon- 
nue en un autre où elle ne figure pas. — On emploie pour cela 
l’artifice suivant : On considère l’inconnue z comme déterminée 
par une équation 
et alors le problème revient à déterminer la fonction K des m -t- 1 
variables x,,...,x„., z de façon que l’équation obtenue en 
l’égalant à zéro donne une fonction z qui soit une intégrale du 
système proposé. 
Convenons de désigner par P, , . . . , P„, Po les dérivées de ^ par 
rapport à x,, ..., x„, z. Les dérivées de la fonction z, déduite de 
l’équation ^ = 0, seront 
Pi Pi P». 
en supposant que dans P^,...,P,„, Po on ait remplaeé z par 
sa valeur. 
