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donne une intégrale de S, il faut et il suffît que les équations 8' 
deviennent des identités en vertu de ^ = 0. Il en sera certaine- 
ment ainsi, si ^ vérifie 8' quelles que soient x,, Xa, z, 
c’est-à-dire si ^ est une intégrale de 8'. 
Cherchons si, de cette façon, on peut retrouver toutes les 
intégrales de 8. 
Soit 'F une intégrale de 8 possédant des intégrales infiniment 
voisines; comme il a été montré dans le paragraphe précédent, 
il sera possible de trouver une famille d’intégrales, dépendant 
d’une constante arbitraire a et donnant pour une valeur par- 
ticulière de cette constante, par exemple pour a = 0. 
Soit 
Z = Z (X) , . . . , x,„ , a) 
l’expression générale de ces intégrales et 
Ç(x,, x„, z) — a = 0 
la même équation résolue par rapport à a. 
L’équation — a = 0 donnant par sa résolution une inté- 
grale de 8, en portant Ç — a dans 8' on devra avoir des 
équations qui devront se réduire à des identités quand on y 
remplacera z par Z. 
Mais 'C, — a et i; ont les mêmes dérivées, de sorte qu’en por- 
tant (J — a dans 8' on a le même résultat qu’en portant ^ et que 
ce résultat ne contient pas a. Les équations obtenues sont de la 
forme 
U(x,, ..., x,„, z) = 0. 
Je dis qu’elles sont des identités. Il suffît, pour le montrer, de 
faire voir qu’étant donné à l’avance un système quelconque de 
valeurs x®, ..., x^, z®, ce système vérifie U = 0. 
Par hypothèse on a, quelles que soient x,, ...,x„, a, 
U[x,, x,„, Z(x,,..., x„., a)] = 0; 
