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donnons à ac„ les valeurs xJ, et à n la valeur 
a“ = Ç(x?, .... xl, z\ 
Z prendra la valeur z® et l’on aura bien 
u(x;,...,x?„,z“) = o. 
Nous obtenons alors ce résultat : 
Toute intégrale non singulière de 8 i^eut s'obtenir en égalant 
à 0 une intégrale convenable du système transformé 8'. 
D’après ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, s’il 
existe plusieurs catégories d’intégrales singulières, on obtiendra, 
au moyen de 8', toutes les catégories, sauf peut-être la dernière. 
En dernier lieu, supposons qu’on veuille traiter le problème 
de Cauchy pour 8, c’est-à-dire chercher l’intégrale 0 ayant pour 
fonction initiale 0(x^^,, ..., x,„). Il nous faudra chercher une 
intégrale (ï> du système transformé 8', telle que 
*l’ l^x, , . . . , x^ , x^^i , • . • , x„, , 4(x^^i , . . . , x„,)J = 0. 
Soit ç(x^^|, ..., x^, z) une fonction s’annulant identiquement 
pour Z = 0; on pourra prendre pour l’intégrale de 8’ qui 
aura pour fonction initiale <p. On a ainsi une infinité d’intégrales 
de 8' fournissant l’intégrale 0 de 8. Ce fait s’explique aisément, 
en remarquant que les intégrales de 8' dépendent d’une fonc- 
tion arbitraire de m — g. -+- \ variables, tandis que celles 
de 8 dépendent seulement d’une fonction arbitraire de m — g. 
variables. 
La manière la plus simple d’obtenir l’intégrale 0 sera évidem- 
ment de chercher l’intégrale <t> qui a pour fonction initiale z — 0. 
C’est ce que nous avons fait dans le cas d’une équation linéaire 
(S 6). 
Nous avons vu que la transformation qui fait disparaître 
