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luée dans 8i, ne donne jamais que des identités. En poussant les 
opérations précédentes suffisamment loin, on arrivera forcément 
à une fonction V„_j ne contenant aucun 0, puisque la dernière 
que l’on pourrait ainsi obtenir, et qui serait ne peut 
évidemment pas en contenir. 
On aura immédiatement l’expression de et, en remon- 
tant, celles de ..., 0„_,, 0„. 
En particulier, si l’on arrive jusqu’à , on a les m — p inté- 
grales 0 et l’intégration du système est terminée. 
Enfin, supposons qu’on arrive à une fonction 
^ » Vîi • • • » y<n ) ) • • • 5 i-l) J 
qui, substituée dans 8|, ne donne que des identités. Comme ces 
équations sont obtenues en se servant uniquement de l’hypothèse 
que les 0 sont des solutions de 8j, il en résulte que V„_, est 
une intégrale de 8i quand on y remplace les 0 qui y figurent 
par des intégrales quelconques de 8j. Comme toute constante 
est une intégrale de 8j, on pourra dire que 
V,„_i(î/| , , ÿm ) > •• • J 
est une intégrale de 8i , quelles que soient les constantes a. Dans 
ce cas, on voit qu’on a une intégrale dépendant de constantes 
arbitraires. 
Nous arrivons ainsi à ce théorème important : 
La connaissance d’une settle intégrale du système r permet de 
trouver toujours une intégrale, au moins, du système S. 
Dans la pratique, si la substitution d’une fonction V fournil 
plusieurs équations distinctes, on en tirera plusieurs 0, ce qui 
donnera d’un seul coup plusieurs nouvelles fonctions qu’on 
substituera à leur tour; celles qui donneront des identités four- 
niront des intégrales dépendant de constantes arbitraires et les 
résultats de substitution des autres donneront des équations 
permettant de tirer de nouveaux 0, et ainsi de suite. 
