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CHAPITRE V. 
INTÉGRATION DES SYSTÈMES NON LINÉAIRES. 
Intégrales complètes. 
30. Définition. — Soit 8 un système canonique de g. équa- 
tions à m variables. En se donnant une fonction initiale dépen- 
dant de m — fA-(- I constantes arbitraires, on aura une intégrale 
dépendant de ces m — pt - 4 - 1 constantes. 
Supposons la déterminée par l’équation finie 
(I ) . . . V(Xj , ■ • , Z , (1, 0 , 
la fonction z tirée de cette équation doit vérifier 8, quelles que 
soient les valeurs des a. Les dérivées sont données par 
( 2 ) . . 
3V 3V 
— P' ^ = 
Dx, Jz 
av DV 
»- p,„ — = 0. 
3x,„ 3z 
Les équations (1) et (2) donnent les z et les p en fonction 
des X et des a et, par hypothèse, ces fonctions z et p vérifient 
les P équations distinctes 8, quelles que soient les valeurs des a. 
Supposons que, parmi les w -+- I équations (I) et (2), il y en 
ait m — P -h i qui soient résolubles par rapport aux o. 
En portant les valeurs ainsi obtenues dans les p équations 
restantes, on aura p équations distinctes, vérifiées identiquement 
par z et les p, et il ne pourra pas y en avoir d’autres. Soit 8| ce 
système; les équations 8 seront donc, forcément, des consé- 
quences algébriques des équations 8|. Si la réciproque n’était 
pas vraie, le système 8 serait certainement décomposable en plu- 
sieurs systèmes parmi lesquels on trouverait 8j, de sorte que si, 
comme nous l’avons toujours fait, nous supposons que 8 est 
