Nous aurons ainsi m — u -t- 2 ^ inconnues, z, a,, ... 
salisfaisanl aux m — p -+- 2 -4- /: équations (6), 
(7) et V = 0. 
En éliminant les a et les X, on aura l'équation donnant z et 
cette intégrale dépendra des fonctions <}> que l’on peut se donner 
arbitrairement. 
En outre, on peut faire successivement 
A’ 1 2 , . . • , wi — pt -t- i , 
ce qui donnera m — fx 1 séries d’intégrales. La dernière série 
s’obtenant en établissant entre les a, m — u + 1 relations, 
redonne les intégrales complètes d’où l’on est parti, puisque 
les a sont alors des constantes. 
32. Solution du problème de Cauchy au moyen d’une inté- 
grale complète. 
Une solution du système 8 est, comme nous venons de le voir, 
parfaitement déterminée quand on connaît les relations 
'f'i = 0, ..., it = 0 
qui lui correspondent. 
Nous devons alors nous proposer de chercher quelles fonc- 
tions il faut prendre pour obtenir l’intégrale, dont l’existence 
est démontrée par le théorème de Cauchy généralisé, et qui, 
en oc?,..., se réduit à 6(x^^,, ...,x„). 
Si z et les fonctions a sont déterminées par le procédé précé- 
demment indiqué, les a, z et ses dérivées ,..., vérifient 
les équations (3) équivalentes aux équations (4). 
Dans ces équations (3), faisons x^ =xj, ..., x^ = x^ et 
remarquons que z,/)^^,, ...,p« se réduisent à 
