Un point P,- sera singulier : 1“ si les points X,, Y,., Z,, corres- 
pondants des ponctuelles x, y, z, sont en ligne droite; ces trois 
points se trouvent alors sur une génératrice n,. de l'hyperboloïde 
déterminé par les droites x,, y,, z,. Cet hyperboloïde sera dési- 
gné par H 2 (X|, ÿ|, Z,). Dans ces cas, au point P,, il correspond 
tous les plans qui passent par la droite La droite a^, en 
décrivant la surface H,(xi, y^, z,), détermine sur les droites 
X|, y,, zj trois poneluelles projectives, les trois faisceaux de 
plans (x), (y), (z), qui unissent les points correspondants de ces 
trois ponctuelles aux trois droites x, y, z sont aussi projectifs. 
Le lieu des interseetions des plans homologues de ces trois 
faisceaux est une cubique gaucbe, c-(x, y, z), qui a les droites 
X, y, z pour bisécantes. De ee qui précède, il résulte que le lieu 
des points singuliers, tels que leurs plans correspondants con- 
tiennent une droite a de l’hyperboloïde H 2 (x, , ?/,, zj), est une 
cubique gauche, qui a les droites x, y, z pour bisécantes. Les 
plans correspondants aux points de la cubique Cj(x, ?/, z) sont 
les plans tangents de la surface HjCx^, y^, z,). 
2® Le plan correspondant à un point P,., peut être indéter- 
miné si un des trois points X,-, Y,-,Z,. est indéterminé. X,, par 
exemple, sera indéterminé si le plan (PjX) contient la droite x,, 
mais alors les droites x et x, doivent se rencontrer; les éléments 
X et Xi ne sont pas arbitraires; il faut donc exclure ce cas. 
5° Enfin le point P, peut être un point singulier lorsque le 
plan (PjX), par exemple, est indéterminé ; pour qu’il en soit 
ainsi, il faut que le point P, soit sur la droite x. Si le point Pj se 
meut sur la droite x, les plans (P^y), (PjZ) décrivent deux fais- 
ceaux projectifs; les points correspondants, Y(, Zj, forment deux 
ponctuelles projectives; donc les droites YjZj décrivent un hyper- 
boloïde H 2 (v,, Zi). Les plans -iZi correspondant aux points P, de 
la droite x, sont les plans tangents d’un hyperboloïde ]^^{y^,z^). 
De même, les droites y q\. z sont des lieux de points singuliers. 
§ 5. Inversement, aux points P d’une droite b qui rencontre 
les droites x, y et z, il correspond un seul plan tt. Le lieu de ces 
plans singuliers tt, à chacun desquels il correspond tous les 
