points d’une droite 6 , est une cotirbe de la troisième classe, qui 
aura les droites Xj, y^, z, comme droites situées dans deux plans 
osculateurs. Indiquons cette cubique par la notation d^{x^, y^, z^). 
A un plan tt passant par une des droites x,, î/j, Z|, corres- 
pondent tous les points d’une droite qui rencontre un des trois 
couples de droites, ?/ et z, z et x ou x et y. Si le plan tt décrit 
le faisceau (x,), les points correspondants sont sur un hyperbo- 
loïde H 2 (y, z). Ces théorèmes sont une conséquence directe de 
ceux du § 2 , car, par une transformation par polaires réciproques, 
la correspondance se transforme en une autre analogue. Évi- 
demment la cubique dg(x,, y^ z,) est circonscrite aux trois 
hyperboloïdes H 2 (x„ y^), H^(y^, Zj), HaC^i.Xi). 
§ 4. Si le point P, décrit une droite l quelconque, les trois 
ponctuelles X,, Y,, Z. correspondantes sont projectives; par con- 
séquent, les plans tt, qui unissent les points homologues enve- 
loppent une courbe gauche de la troisième classe. Nous pour- 
rons en conclure que le lieu des points P, tels que le plan 
correspondant tz passe par ce point P, est une surface du 
quatrième degré. En effet, pour chercher le degré de la surface 
en question, il faut chercher le nombre des points P situés sur 
une droite l et tels que le plan correspondant tc coupe la droite / 
en un point Q coïncidant avec P. A un point P de la droite /, 
il correspond un seul point Q, et à un point Q de la droite /, il 
correspond trois points P; ces trois points P sont les points 
homologues des trois plans osculateurs de la courbe corres- 
pondant à la droite l, qui passent par le point Q. Les coïnci- 
dences de la correspondance (3, 1), que nous venons d’établir 
sur la droite /, étant au nombre de quatre, le lieu cherché est 
bien du quatrième degré, O 4 . Celte surface contient les droites 
X,, yn et z,. En effet, si, par exemple, P; est sur la droite x^, le 
plan correspondant ti, = (X,, Y,-, Z,) passe par le point P, 
puisque P, coïncide avec X^. Remarquons que la cubique gauche 
CgCac, y, z) et les droites x, y, z sont également situées sur la 
surface O 4 , car parmi les plans correspondant à un point sin- 
gulier, il y en a toujours un qui passe par le point singulier. 
