On peut conclure de là que la correspondance que nous avons 
établie entre les points et les plans de l’espace n’admet pas 
d’autres points singuliers que ceux que nous avons indiqués. 
Supposons, en effet, qu’il y ait un nouveau point singulier P, 
qui ne soit ni sur la cubique c^{x, y, z), ni sur aucune des droites 
X, y ei Z. k ce point, il correspondra un faisceau de plans : au 
moins un des plans de ce faisceau passera par le point U et de 
même un autre par le point U'. Donc les deux surfaces S 3 
et S 5 correspondant à U et U' auraient, outre l’intersection du 
(jegré, que nous avons indiquée plus haut, un point P en 
commun, situé en dehors de celte intersection, le point P étant, 
par supposition, en dehors des courbes c-^x, y, z), x, y, z, et ne 
sera pas, en général, sur la cubique correspondant à l’axe /, 
puisque le faisceau (J) et le faisceau correspondant au point P 
n’auront pas de plan commun. 
§ 9. Les plans correspondant aux points d’une courbe de 
degré n enveloppent une courbe de classe 3n. En effet, le 
nombre de plans du lieu cherché qui passent par un point P, 
est égal au nombre de points de la courbe c„ situés sur la sur- 
face cubiqtie correspondant à P; le nombre de ces points est 
3n; donc la classe est 3n. 
Si la courbe c„, de degré n, rencontre une ou plusieurs fois 
une des lignes c^(x, y, z), x, y, z, la courbe correspondante, de 
classe 3n, se décompose, puisqu’à chaque point de rencontre il 
correspond un faisceau de plans. 
Exemples : 
A une droite /, il correspond, en général, une cubique 
gauche C 3 . Si / est une sécante de la cubique Cs(x, y, z), 
la courbe C 3 se décompose en une droite a et un cône du second 
degré, qui auront un plan en commun. Si la droite l est une 
bisécanle de la cubique c^(x, y^ z), la courbe correspondante 
se décompose en deux droites a et une droite qui les rencontre 
toutes les deux. 
Si / est une droite 6 , la courbe Cj se décompose en trois 
droites, qui sont dans un plan; ce plan est le plan osculaleurde 
