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Cherchons la représentation dans la gerbe (U) d’une courbe 
du quatrième degré c\, donnée par l’intersection des surfaces S3 
et S2, qui ont déjà en commun deux droites situées dans un plan. 
Prenons comme exemple une surface Sj, passant par les droites 
X et La surface correspondant à S2 se décompose en une sur- 
face de la quatrième classe ^4 et l’byperboloïde H2(j/i, z,). 
La surface’ ^4 passe par les droites /„, y^,zy \ æ, est un lieu de 
plans bitangents et la surface ^4 est encore inscrite dans la déve- 
loppable formée par les tangentes à la courbe ^3(0;,, y,, z^). Le 
cône circonscrit à la surface ^4, et qui a pour sommet le point U, 
se décompose en la droite et en un cône qui est tangent 
aux plans >j, / 3 , , P21 Ps- Ce cône est donc le cône corres- 
pondant à la courbe c*. 
Inversement, à un cône k^, qui est tangent aux plans >7, 
Pj» Ps» il correspond une courbe cl, de Sg, qui n’admet pas de 
droites trisécantes; en effet, la courbe cl rencontre 
0 fois : 1 fois : 2 fois : 
ôj. , , 6y , 6j , 6g 5 63 , 
les iO g sans indice z ; les 5 gf avec indice z ; 
z; 
Comme le cône k^ peut avoir un plan biiangent, un plan inflexion- 
nel ou pas de singularités, il y a trois espèces de courbes cl; 1“ avec 
un point double; 2 ® avec un point de rebroussement; 3 " sans sin- 
gularités. On vérifie facilement que des courbes C4 sont données 
par un cône ^4, qui touche trois plans singuliers du point U, deux 
fois et deux autres une fois; par un cône A3, qui touche trois plans 
singuliers une fois et un quatrième deux fois; par un cône A4, qui 
a un des plans singuliers pour plan tritangent et les cinq autres 
pour plans tangents ordinaires; par un cône Ag, qui a un plan 
singulier pour plan tritangent, trois plans singuliers pour plans 
bitangents et les deux restants pour plans tangents, etc. 
Des courbes cl sont données par un cône A4 qui touche deux 
plans singuliers deux fois et les quatre autres une fois chacun, 
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