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par deux de ces droites contient deux tangentes à la surface S5; 
il est donc plan tangent; ainsi, au point Q, il y a plusieurs plans 
tangents; le point Q est, par conséquent, un plan singulier. 
Les six droites de la surface S5 passant par le point Q sont sur 
un cône du second degré. En effet, tout cône du second degré, 
passant par cinq de ces droites, rencontre nécessairement la sur- 
face S5 suivant une sixième droite; puisque cette droite est située 
sur le cône, elle doit passer par son sommet Q. Or, par le 
point Q il ne passe que les six droites indiquées; donc, la sixième 
droite, qui passe par Q, doit être sur le cône du second degré 
déterminé par cinq de ces droites. 
Ce cône est un cône non décomposé en deux plans, car il est 
impossible que trois des droites passant par le point Q soient 
dans un plan. 
Prenons un exemple ; supposons que les trois droites 
(5t.5=5'2s)> (ÿl5=î/î») 
soient dans un plan. Dans le plan des deux premières se trouve 
déjà la droite par conséquent, il se trouverait dans ce plan 
quatre droites de la surface, ce qui est impossible. Le point Q est 
donc un point conique de la surface S5. 
Il est possible, de deux manières, que deux des plans singu- 
liers qui passent par le point ü coïncident : 
\° Deux des plans [3 peuvent coïncider. Le point U doit être 
alors sur la surface réglée R4, dont la cubique z^) est 
l’arète de rebroussement; 
2 “ Un des plans (3 coïncide avec un des trois plans Le 
point U doit se trouver alors dans un des six plans oscillateurs 
de la cubique ^3(^:1, z^) qui passent par une des droites Xi, 
î/i, Zy. Il est impossible que le plan i coïncide, par exemple, avec 
le plan ‘f\, puisque dans ce cas les droites Xi et seraient dans 
un plan; donc les six éléments de la correspondance ne seraient 
plus arbitraires. Dans ce cas, la surface S3 se décomposerait en 
un plan et en une quadrique. 
Dans le premier cas, tous les plans singuliers sont réels; donc 
les six droites passant par le point Q sont réelles. 
