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2', 3' sont décomposables chacun en deux faisceaux; le cône i', 
par exemple, en les faisceaux (l) et (2, 3); par conséquent, la 
droite 5^33 coïncide avec la droite g[. Les droites g^^, g^^ 
ont disparu. Il y a donc de nouveau un double-six, dont il ne 
reste que six droites passant par un point Q. Le double-six est 
le suivant : 
fl'iîî .92 3 5 fl'ôl» 9«’ 96 5 
935 9« 5 9*5 9s65 96*5 9*8‘ 
Les autres droites de la surface S5 ne passent pas par le 
point Q. Par un raisonnement analogue à celui employé dans 
le § 1, on voit que les six droites qui passent par le point Q sont 
sur un cône non décomposable, du second degré; Q est donc 
un point conique de la surface S5. 
Pour démontrer directement que Q est un point double de la 
surface S3, considérons une droite p passant par le point Q. 
Comme au point Q de la droite p il correspond déjà un fais- 
ceau (/), aux autres points de la droite p il correspond un cône Co, 
qui aura un plan commun avec le faisceau (/), autrement dit la 
droite l est tangente au cône €3. Par le point U de la droite /, 
on ne peut donc mener qu’un seul plan langent au cône qui ne 
contient pas la droite /; donc la droite p rencontre la surface S5 
en un seul point, différent du point Q; par conséquent, Q doit 
être un point double de la surface S3. La droite p sera tangente 
en Q à la surface S5, si le point U se trouve sur le cône €3. 
Pour que trois des plans singuliers du point U passent par 
une droite l, il faut que la droite / se trouve sur un des quatre 
hyperboloïdes qui sont le lieu des supports de faisceaux aux- 
quels ne correspondent que des points. 
Ce sont les hyperboloïdes H3(3Ci,9i,Zi), H3(xi,9i), 
H3 (zj, auxquels correspondent la cubique C5(x, y, z) et les 
droites z, x et y. Si le point U est sur l’hyperboloïde )A<^{x^,y^, Zi), 
les trois plans qui passent par une droite sont les plans r; et ij; 
leur intersection commune est une droite a et le point conique Q 
de la surface S3 est un point A de la cubique c^(x,y,z). Si le 
point U est, par exemple, sur l’hyperboloïde H3(xj, pi), ce sera 
