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§ 6. a) Le point U peut se trouver sur la courbe d’intersection 
de deux hyperboloïdes, tels que H2(aîi, y{) et H2 (î/i, ^i). Ces 
deux hyperboloïdes ont la droite y en commun; donc ils se 
coupent encore suivant une cubique gauche Cj. Si le point U 
est sur cette courbe C5, il passe par ce point deux droites et 1 ^, 
par chacune desquelles il passe trois plans singuliers. Par il 
passe, par exemple, les plans et [ 3 ,, et par la droite I2 il passe 
les plans yj, ^ et La surface S3 aura deux points coniques, 
l’un sur la droite z et l’autre sur la droite x. 
( 3 ) La cubique gauche C3, courbe d’intersection des deux 
hyperboloïdes H2(o-i, et ^i), rencontre l’hyperbo- 
loïde H2 («i, en deux points non situés sur les droites et Xj. 
Si le point U est un de ces points de rencontre, les plans ? et 
[33 passent par une droite et la surface S3 aura trois points 
coniques, situés respectivement sur les droites z, x et y. 
y) Si le point U est situé sur la cubique d3(xj, z^) et, par 
exemple, sur l’hyperboloïde H2(yi, z^), cinq plans singuliers 
passant par le point U se coupent en une droite et, de plus, trois 
de ces plans coïncident, à savoir les plans t\, = = 
C’est le cas traité dans le § b, ( 3 , et la surface S3 aura donc un 
point biplanaire 84. 
d) Enfin, supposons que le point ü soit situé sur une des 
droites X|,yi ou z^. Un des plans singuliers est alors indéterminé. 
La surface S3 se décompose en un plan et une quadrique. En 
effet, si, par exemple, le point U est situé sur la droite Xj, le 
plan (xU) fait partie de la surface S3, de même que l’hyperbo- 
loïde H2(y, z). 
§ 7 . Tâchons de prendre le point U tel que les six plans 
singuliers qui passent par ce point soient tangents à un même 
cône du second degré. Ce cas est le cas réciproque de celui où 
les six points singuliers situés dans un plan p se trouvent sur 
une conique. En général, il est impossible de déterminer un 
plan tel que les six points singuliers qui s’y trouvent soient 
sur une conique. 
Pour que ce fût possible, il faut que la cubique C3(x, y, z) et 
