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les droites x, y, z soient situées sur une quadrique. En effet, un 
hyperboloïde H2(x, y) est uniquement déterminé par les lignes 
c^{x,y,z), X et y. Le plan p. de la conique Cg, sur laquelle se 
trouvent les six points singuliers, coupe riiyperboloïde HgCx, y) 
suivant une conique qui aura cinq points communs avec la 
conique Cg ; donc ces deux coniques coïncident complètement. 
La droite z est une bisécante de la cubique c^{x, y,z) et a un 
point commun avec la conique c,, donc avec la conique cj; elle 
a donc trois points communs avec l’hyperboloïde )i^{x,y) \ par 
conséquent, elle y est tout entière. 
Réciproquement, pour que les six plans singuliers passant 
par le point U soient tangents à un cône du second degré, il 
faut que la développable R4 soit circonscrite à Thyperboloïde 
déterminé par les trois droites Xi, t/^, z^. Alors un plan oscula- 
teur de la cubique d^{xi, yi, Zj) marque sur les droites x^, 
t/i, Z| des points qui sont sur une droite a. Les quatre hyper- 
boloïdes HgCxi, t/i, zi), HaCxi, t/j), H^iy^zi), HgCzi, Xj) ne 
font qu’un seul. Aux plans passant par une droite a corres- 
pondent les points d’une droite 6. La cubique C5(x, y,z) n’existe 
plus, mais est devenue l’hyperboloïde H2(x, y, z). Aux points 
d’une droite b correspondent tous les plans d’une droite a; donc 
la cubique d3(xi,î/i,zi) est devenue l’hyperboloïde )\^{xj^,yi,z{). 
Par chaque point U il passe une infinité de plans singuliers, qui 
forment un cône du second degré. Dans un plan y. quelconque 
se trouvent une infinité de points singuliers, qui forment une 
conique. Aux plans singuliers, passant par le point U, il corres- 
pond l’hyperboloïde H2(x, y, z); la surface S3 se décompose 
donc en cet hyperboloïde et un plan. 
On peut démontrer comme il suit que tous les points corres- 
pondant aux plans non singuliers qui passent par le point U, 
sont dans un plan. Par une droite quelconque /, qui contient le 
point U, il passe deux plans singuliers ; donc aux autres plans 
de la droite / il correspond des points en ligne droite g. Deux 
droites et /2 passant par le point U ont un plan commun ; donc 
leurs droites correspondantes et g<^ ont un point commun. 
Toutes les droites g de la surface S3 correspondant aux droites / 
