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CHAPITRE III. 
§ I. a. Prenons les éléraenls de telle sorte, que la cubique 
zi) se décompose en un faisceau et un cône du second 
degré. Pour qu’il en soit ainsi, il suffit, si les droites x,y,z, 
Xj et t/l sont données en position, d’effectuer les constructions 
suivantes : menons une droite bi, qui rencontre les droites x,y,z; 
les deux plans (ôix) et (b^y) rencontrent les droites Xi et yi res- 
pectivement aux points Xi et Yi; la droite ai =XiYi rencontre 
le plan (biz) en un point Z,; si la droite zi passe par le point Zj, 
le faisceau ai fera partie de la cubique d^(xi, y\, z\) ; donc cette 
eubique se décompose en ce faisceau (a,) et un cône dg» du 
second degré, qui a un plan commun avec le faisceau (oj) et 
avec les trois faisceaux (xi), {y\) et (zi); autrement dit, les 
droites «i, xi, y\ et zi sont des tangentes au cône dg- cubique 
Ht z) se décompose aussi en une conique c^(x,y,z') et la 
droite bi. 
Soit maintenant le point U sur la droite «i, alors la surface S3 
sera réglée et aura la droite bi pour droite double. En effet, aux 
points d’une droite l quelconque, qui rencontre la droite 61, il 
correspond le faisceau (oi) et un cône du second degré, qui 
touche la droite ai; ainsi, par le point U il passe un seul plan 
tangent de ce cône, qui ne contient pas la droite Oi; par consé- 
quent, la droite l rencontre la surface S3 en un seul point, non 
situé sur la droite b,; donc chaque point de la droite 61 est un 
point double et ô, est une droite double. Soit le plan tangent 
mené du point U au cône dg, qui ne contient pas la droite Oi; et 
soit 63 la droite correspondante de la surface S3. A chaque droite l 
située dans ce plan P3, considérée comme axe, il correspond 
une droite g de la surface S3, qui rencontre les droites ôj et 63, 
puisqu’il passe par la droite / les deux plans singuliers ^3 et 
(ail). Il s’ensuit que S3 est une surface réglée. 
