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Chaque droite / rencontre une droite a, distincte de Oi; donc 
chaque droite g rencontre la conique C2(x, y, z). Inversement, 
chaque droite g qui rencontre la droite bi (ce qui compte pour 
deux points d’intersections avec S3) la droite 63 et la conique 
c^(x,y,z) a quatre points communs avec la surface S3, donc, 
elle fait partie de cette surface. Puisque la droite 61 rencontre la 
conique c^(x,y,z), chaque plan mené par la droite 61 rencontre 
cette conique et la droite 63, chacune en un point et la droite de 
jonction de ces deux points de rencontre donne une seule droite 
de la surface S3, située dans chaque plan mené par la droite 
Puisque chaque plan mené par la droite 63 rencontre la 
conique C2(x, y, z) en deux points et la droite 61 en un seul point, 
il s'ensuit que dans chaque plan passant par la droite 63 il se 
trouve deux droites de la surface S3, qui se rencontrent sur la 
droite b^. Ces deux droites coïncident, si le plan mené par la 
droite 63 est tangent à la conique, ce qui a lieu deux fois; donc 
sur la droite double 61 se trouvent deux points pince. 
P) Ces deux points pince sur la droite 61 coïncident, si la 
droite 63 rencontre la conique c^(x,y,z); cette conique a déjà 
quatre points communs avec l’hyperboloïde H^(x, y, z), car elle 
rencontre les droites bu x,yeiz; donc la droite 63 ne peut ren- 
contrer la conique C2(ac, y, z) que si elle coïncide avec la droite 
6,; c’est ce qui a lieu si le point L se trouve au point où la 
droite Oi touche le cône d^, ou bien encore si la droite 63 passe 
par un des trois points où la conique C2(x, y, z) rencontre les 
droites x, y, z. Dans ces trois derniers cas, le point U coïncide 
avec un des points Xi, Yi, Zj; donc la surface S3 se décompose. 
Si les droites 61 et 63 coïncident, les deux directrices de la sur- 
face S3 coïncident, et la surface devient une surface de Cayley. 
Sur la droite Oj se trouvent ainsi déterminés quatre segments, 
et aussi longtemps que le point U se trouve dans deux de ces 
segments non consécutifs, les deux points pince restent imagi- 
naires; si le point se trouve sur un des deux autres segments, 
ces points sont réels. 
y) Si ü est le sommet du cône d2« tous les plans tangents de 
ce cône passent par le point U;, donc toutes les droites b sont 
