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situées sur la surface S5; la surface S5 se décompose alors en 
l’hyperboloïde U^{x, y, z) et un plan. 
Si le point U se trouve sur le cône ^2, ou bien sur un des 
plans tangents au cône c/2> menés par une des droites z, 
ou Ci, ou sur une des arêtes suivant lesquelles ces plans touchent 
le cône la surface S3 aura, de même que dans le cas où 
la cubique y\, z^) ne serait pas décomposable, un point 
conique ou un point biplanaire B3, etc. 
5 ) Au lieu de mener la droite z, arbitrairement par le poit)t 
Zi, on peut la faire passer par un point analogue, Zj,, correspon- 
dant à une seconde droite 6n; la cubique d3(xj, î/i, z() se décom- 
pose en les deux faisceaux (oi) et («n) et en un troisième (d<); la 
droite dj rencontre les droites ai et On. Supposons que le point U 
soit situé sur la droite «i; toutes les droites l qui passent par 
le point U et rencontrent la droite cth sont des axes de faisceaux, 
auxquels correspondent des droites g de la surface S3, rencon- 
trant les deux droites directrices bi et bu. Si le point U est sur la 
droite c/j, la surface S3 se décompose en rhyperboloïde H2(x, y,z) 
et en un plan. La surface S3 ne peut pas devenir une surface de 
Cayley. 
c) Supposons que les droites x, y, z, x, et yj soient encore 
données en position; une droite 6,. détermine sur les droites x, 
et y, par les plans (x6,.) et {yl\) les points X, et Y,-. Le lieu des 
intersections de la droite X.Y, avec le plan (z6,) est une cubique 
C3, dont les droites z, x, et y, sont des bisécantes. Si l’on prend 
pour droite Z| une tangente à cette cubique C3, la cubique 
djCx^, yit^i) se décompose en le faisceau (XiYi), qui passe par 
le point de contact Zi, faisceau qui compte double, et en un 
faisceau (di). Si le point U est situé sur la droite XjYiZi, la 
surface S3 sera une surface de Cayley. 
i;) Si la droite z^ est sur l’hyperboloïde formé par les droites 
X.Yi, la droite zj est une bisécante de la cubique Cj, considérée 
dans (s); nous sommes done ramenés au cas {p) avec la singu- 
larité en plus que la droite c^, qui, avec les droites bi et bu , forme 
la cubique Cz(x,y,z), coïncide avec la droite z, tandis que la 
droite d| coïncide avec la droite z^ . 
