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naire B4. Dans ce cas, les deux couples de plans suivants coïn- 
cident deux à deux ( 3 , avec P3 et avec 
d) Si le point U se trouve dans le plan (Z^XiY,), c’est-à-dire 
dans le plan du faisceau (X,Y|), qui est tangent au cône 
c?2(x,, les plans [Bj et P, coïncident et les plans Pi, Pj, P3, ^ 
passent par une droite. Dans ce cas, la droite AB est la droite 
6, =63; celte droite est dans le plan (onj); le cône tangent en A 
doit donc se décomposer en le plan (xy) et un autre plan. La 
droite XjY, est maintenant une droite l de l’hyperboloïde 
Hs(x,, y,), qui correspond au cône tangent en A. Au faisceau 
(X|Yi) correspond le plan (xy), qui fait donc partie du cône 
tangent. Le point A est donc un point biplanaire B3 de la sur- 
face S3. 
s) Revenons au cas considéré § 3 , P; pour que les deux plans 
tangents (xX^), {yY^) coïncident, il faut que le point Xj coïncide 
avec le point Xi et le point Y3 avec le point Y^. Ceci est possible ; 
en effet, prenons les droites x et y dans un plan; et soient les 
droites z, x, et y, arbitraires : la droite X|V, est déterminée 
par ces données; il en est de même des plans (xjY^) et (zA); 
les seules conditions à satisfaire sont que la droite Zj rencontre 
l’intersection de ces deux derniers plans, et que le point U soit 
sur la droite ZjX.j La droite de contact du plan Z^XiYi avec le 
cône dj est maintenant la droite ZjXiU ; des cinq plans (^2» Ps» 
I et Ç qui passent par la droite Llzj, les quatre plans Pi, P2, P3, | 
coïncident. Par le point A il ne passe que trois droites de la 
surface S3, qui sont dans un plan, à savoir les droites x, y et AB; 
le point A est toujours un point double; c’est donc un point 
uniplanaire; les trois droites dans le plan tangent étant réelles et 
distinctes, A est un point uniplanaire Ug. 
§ 4 . a) Supposons que la droite x rencontre la droite y au 
point A, tandis que la droite z rencontre la droite y au point B, 
et soient les droites x,, y^, et arbitraires. Désignons par Xi 
et Yi les points où les droites Xj et y^ rencontrent le plan (xy) 
et par Yn et Z» les points où les droites y, et Z| rencontrent le 
plan (yz). La cubique yi, z^) se décompose en trois fais- 
