( 49 ) 
et X3 sont en ligne droite, le point Z sera un point biplanaire B4. 
La droite VZj est alors une droite a Nous somnaes arrivés, 
ainsi, au résultat suivant : 
Si le point U se trouve sur une des trois droites a qui passent 
par un des trois points X^, ou Z^, la surface S3 aura un point 
biplanaire B4, et deux points coniques. Puisque les droites a ne 
se rencontrent pas, il n’y a pas de surface S3 avec deux points 
biplanaires B4 et un point conique. 
Si le point U se trouve sur la droite d’intersection des deux 
plans (Zi, y)et (Y^, x), les points Z et Y seront des points bipla- 
naires B3; si le point U est l’interseeiion de celte droite avec le 
plan (Xf, z), les points X, Y et Z seront des points biplanaires B3. 
y) Supposons que le point U se trouve sur une droite a; le 
point A, correspondant à ce faisceau (a), de la cubique C3(x,ÿ,z), 
sera un point conique de la surface S3. En effet, par le point A 
il passe les trois droites de la surface AX = 6^, A Y = 6, et 
AZ = 6,. Ces trois droites ne sont pas dans un plan; puisque 
le point A est seulement dans le plan (XYZ), si la droite a passe 
par un des points X^, Y< ou Z^ ; A n’est donc pas un point uni- 
planaire; A n'est pas non plus un point biplanaire, puisque alors 
un des plans tangents, au moins, devrait contenir deux des 
droites 6,, 6, ou b,, donc aussi une des droites x, y ou z, et 
ferait alors partie tout entière de la surface S3. A est donc un 
point conique, et la surface 83 aura quatre points coniques. 
§ 6. a) Supposons que les droites x, y et z passent par un 
point Q. A un plan quelconque tz il correspond, en général, le 
point Q. Si les trois plans des faisceaux (x), (y) et (z), corres- 
pondant à un plan tz, ont un point commun, hors du point Q, 
ces trois plans ont une droite commune qui passe par le point Q. 
La surface S3 sera donc un cône. 
Les plans tï, qui donnent des droites du cône S3, enveloppent 
un cône de la troisième classe. En effet, soit l une droite passant 
par le point U; les plans du faisceau (/) déterminent sur les 
droites x^, y, et z, trois ponctuelles projectives; les trois fais- 
ceaux de plans (x), (y) et (z) correspondants seront donc aussi 
d 
