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CHAPITRE IV. 
Influence des singularités sur la classe. 
§ I. Soit une droite qui rencontre la surface S3 aux points 
Kj, K2, K3. Menons un plan a par la droite k et soit C3 la courbe 
d’intersection avec la surface S3. Aux points de la courbe C3 il 
correspond des plans qui passent par le point U et qui sont 
tangents à la surface de la troisième classe A3 qui correspond au 
plan a. Ces plans sont donc des plans tangents d’un cône de la 
troisième classe, qui a le point U pour sommet. 
Parmi ces plans tangents il se trouve les trois plans x, , xj 
qui correspondent aux points K|, K^, K3, et les six plans singu* 
liers qui passent par le point U, puisque tous les plans des 
faisceaux (x,), (y^), (^,) et les plans osculateurs de la cubique 
d3(xi, y y, zy) sout des plans tangents de la surface A3. 
Pour tout plan a passant par la droite k, ces neuf plans seront 
les mêmes. Aux courbes d’intersection des plans a qui passent 
par la droite k il correspond donc un système de cônes de la 
troisième classe qui ont le point U pour sommet et sont tous 
tangents à neuf plans 6xes. 
Un plan a passant par la droite k est un plan tangent à la 
surface Sj si la courbe d’intersection Cj possède un point double. 
Si la courbe possède un point double, le cône correspondant 
a un plan bitangent et vice versa. Le nombre de plans tangents 
qu’on peut mener par la droite quelconque Æ à la surface S3 est 
par conséquent égal au nombre de cônes de la troisième classe, 
tangents à neuf plans fixes, et qui possèdent un plan bitangent. 
Ce dernier nombre est évidemment égal au nombre de courbes 
du troisième degré d’un faisceau qui possèdent un point double. 
Ce nombre étant, pour un faisceau du ordre, 3 (n — I)^ est 
donc douze. (Cremona, Curtze 88.) 
