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§ 2. Si des points de base d’un faisceau il y en a deux qui 
coïncident, le nombre de courbes du faisceau qui possèdent un 
point double est diminué de deux unités. (Cremona, Curtze 88 a.) 
Si donc des neuf plans fixes tangents aux cônes de la troi- 
sième classe qui correspondent aux courbes d’intersection de la 
surface S 3 avec un faisceau de plans (A) il y en a deux qui 
coïncident, le nombre de plans tangents à la surface S 3 qu’on 
peut mener par la droite n est diminué de deux unités. 
Il s’ensuit que : 
1 ® Si la droite k est tangente à la surface S3, le nombre de 
plans tangents est diminué de deux unités. 
2® Si deux des plans singuliers passant par le point L 
coïncident, ce qui donne un point conique sur la surface S 3 
(ch. II, § i), le nombre de plans tangents passant par une droite 
quelconque k est diminué de deux unités. 
3® Si la droite k rencontre une des six droites de la surface S 3 
qui correspondent aux six plans singuliers passant par le point U, 
le nombre de plans passant par la droite k pour lesquels la 
courbe d’intersection a un point double proprement dit, est 
diminué de deux unités. 
Le plan a passant par la droite k et la droite de la surface S 3 
compte pour deux plans tangents. 
§ 3. Si des neuf points de base d’un faisceau de courbes du 
troisième degré il y en a trois qui coïncident, le nombre de 
courbes du faisceau qui admettent un point double est diminué 
de trois unités. 
Pour démontrer ce théorème, nous employons les notations et 
la méthode de Cremona {Introduction à une théorie géométrique 
des courbes planes). Soit 0^ le point où toutes les courbes du 
faisceau osculent le même cercle, 0 ' un point sur la tangente 
commune, et 0 " un point non situé sur cette tangente. 
Faisons les remarques suivantes : 
1® Les premières polaires du point 0 pour toutes les courbes 
du faisceau seront toutes tangentes à la droite 00 '. 
