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faisceau (k) il y en a trois qui coïncident, le nombre de plans 
tangents passant par la droite k est diminué de trois unités. 
Par conséquent : 1“ Si la droite k est une tangente inflexion- 
nelle de la surface S3, le nombre des plans tangents qui passent 
par elle est diminué de trois unités; 
2° Si des plans singuliers qui passent par le point U il y en 
a trois qui coïncident, ce qui donne un point biplanaire B3 sur 
la surface S3 (ch. 11, § 2), la classe de la surface S3 est diminuée 
de trois unités. 
§ 4. Si des points de base d’un faisceau de courbes du troi- 
sième degré il y en a quatre qui se sont réunis en un seul, le 
nombre de courbes du faisceau qui ont un point double est 
diminué de quatre unités. 
Démonstration. Soient Cs = 0 et câ = 0 deux courbes du 
faisceau ; elles peuvent toujours être représentées par les équa- 
tions 
c- = (y - 4 - Mj) I c {bij -t- I ) -♦- ax j -4- yVi = 0 ; 
C3 = (ÿ -H Mj) j c\by -4- 1) -+- a'x| -t- yv\ — 0. 
Dans ces équations, w,, u* et v\ sont des fonctions homogènes 
du second degré en x et y. 
Le faisceau des premières polaires de l’origine O est 
c = j y{cby - 4 - c -4- ax) -4- c{y -4- j 
-4- A J y(c’hy -4- c' -4- u'x) -4- c\y -4- Wj) { . 
Le faisceau des premières polaires du point O', intersection 
de la droite j/ = 0 avec la droite de l’infini, est 
I + c -4- ax) -4- a(ÿ -4- Mi) î/ j 
i du^ 1 
— (c’by -4- c' + a'x) -4- a' (y -4- Mj) -4- y — > = 0 . 
dx dx ) 
