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Cette courbe a l’origine pour point double et la droite t/ =0 
est une des tangentes. Des points d’intersection de cette courbe 
avec la conique y -i- t/j = 0 , il y en a quatre qui se sont réunis 
dans l’origine. Celte conique est donc osculatrice à la branche 
qui est tangente à la droite ÿ = 0 . 
Le point O doit donc compter pour sept points d’intersection 
des deux courbes du quatrième degré. Le point O compte pour 
trois points parmi les points de base du faisceau de premières 
polaires du point O. Le nombre de points d’intersection des 
deux courbes du quatrième degré différents des points de base 
du faisceau des premières polaires du point O est, par consé- 
quent, 
4(n_l)*_7— j («_'!)*_ 5 ( =3(n — — 4. 
Ces points étant les points où passent trois premières polaires 
homologues de trois points O, O', O" non situés en ligne droite, 
sont des points doubles de courbes du faisceau. Le nombre de 
courbes du faisceau qui ont un point double est donc diminué 
de quatre, par le fait que quatre points de base coïncident. 
La coïncidence de quatre plans singuliers passant par le 
point U, ce qui donne sur la surface Sj un point biplanaire 64 
(ch. Il, § 3), diminue donc la classe de la surface S 5 de quatre 
unités. 
§ S. a) Si parmi les neuf points de base il y en a trois sur 
une droite, une des courbes du faisceau se décompose en cette 
droite et en une conique. 
Cette cubique décomposable donne deux points doubles; le 
nombre de courbes du faisceau qui ont un point double propre- 
ment dit est donc diminué de deux unités. 
Par conséquent, si parmi les six plans singuliers passant par 
le point U il y en a trois qui passent par une droite, ce qui 
donne une surface S 3 avec un point conique (ch. Il, § 4, a.), la 
classe de la surface S 3 est diminuée de deux unités. 
Si la droite k rencontre une droite de S 3 , il passe par la 
