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droite ik trois plans tangents à tous les cônes K3. Le plan (kg^) 
compte donc pour deux plans tangents. 
Si la droite k rencontre la droite g\, six des neuf plans tan- 
gents communs aux cônes k- sont tangents au cône t'; les trois 
autres plans passent par conséquent par une droite, et le plan kgl 
doit compter pour deux plans tangents. 
( 3 ) Si parmi les neuf points de base il y en a trois sur une 
ligne droite / et un autre point de base qui coïncide avec un de 
ces trois points, P, de manière que toutes les courbes du fais- 
ceau ont en P une tangente commune distincte de la droite l, le 
nombre de courbes du faisceau qui ont un point double est dimi- 
nué de trois unités. 
En effet, la conique qui, avec la droite /, forme une courbe 
du faisceau, doit passer par le point P. Cette cubique décom- 
posable est donc la courbe du faisceau qui a le point P pour 
point double, et de ce chef, il faut «liminuer le nombre de points 
doubles situés sur des courbes du faisceau de deux unités. 
La cubique décomposable possède encore un point double ; 
donc il faut encore diminuer d’une unité le nombre de points 
doubles restant pour les autres courbes du faisceau. 
Par conséquent, si par une droite / passant par le point U il 
passe quatre plans singuliers, dont deux coïncident, ce qui donne 
une surface S3 avec un point biplanaire Bg (ch. Il, § 5 , a), la 
classe de la surface S3 est diminuée de trois unités. 
Par un raisonnement analogue au précédent, on voit que si 
des neuf points de base il y en a trois en ligne droite et qu’en 
même temps un de ces trois points s’est confondu avec deux 
autres points de base, le nombre de courbes du faisceau qui ont 
un point double est diminué de quatre unités. 
Par conséquent, si le point ü est situé sur une droite /, par 
laquelle il passe cinq plans singuliers dont trois coïncident, ce 
qui donne un point biplanaire B4 sur la surface S3 (ch. II, § 5 , ( 3 ), 
la classe de cette surface est diminuée de quatre unités. 
y) Si parmi les neuf points de base il y en a trois sur une 
droite /, tandis que deux de ces points A et B se sont réunis 
chacun avec un autre point de base, le nombre de courbes du 
