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faisceau qui ont un point double est diminué de quatre unités. 
La conique, qui avec la droite l forme la cubique décompo- 
sable du faisceau, passe évidemment par les points A et B. 
Comme en A et B se sont réunis deux points de base, il passe 
par A et par B une cubique à point double, pour laquelle il faut 
diminuer le nombre de courbes du faisceau à un point double 
de deux unités. Ces deux cubiques ne font qu’une, à savoir la 
cubique décomposable ; donc du chef de cette cubique décom- 
posable il faut diminuer le nombre de courbes à point double 
de quatre unités. 
Par conséquent, si le point U est situé sur une droite l par 
laquelle il passe cinq plans singuliers, et que parmi ceux-ci il y 
ait deux couples qui coïncident, ce qui donne un point bipla- 
naire B4 sur la surface S3 (ch. III, § 3 , y), la classe de la sur- 
face S3 est diminuée de quatre unités. 
Par un raisonnement analogue au précédent, on voit que, si 
des neuf points de base il y en a trois en ligne droite et qu’un 
de ces trois points coïncide avec deux autres points de base, le 
nombre de courbes du faisceau qui possèdent un point double 
est diminué de cinq unités. 
Par conséquent, si par une droite / passant par le point U il 
passe six plans singuliers dont trois coïncident et encore deux 
autres aussi, ce qui donne sur la surface Sg un point bipla- 
naire Bg (ch. III, § 3 , y), la classe de cette surface Sg est dimi- 
nuée de cinq unités. 
§ 6. Si parmi les neuf points de base quatre coïncident en un 
seul O, tandis que sur la tangente en O à toutes les courbes du 
faisceau il y a encore un point de base, le nombre de courbes 
du faisceau à point double est diminué de six unités. 
Démonstration. Le faisceau peut se mettre sous la forme 
[(y -4- M,) {cax by c) yv^ 
- A [(y 4- Mj) [c’ax -H b’ y + c') -t- yv^] = 0; 
Ut, i'i et î j étant de nouveau des formes homogènes du second 
degré en x et y. 
