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CeUe courbe peut se meure sous la forme 
ywt ■+■ u\ = 0 . 
Parmi les points de rencontre des courbes Cqo- et Co^ , » dix 
se réunissent en 0. En effet, la droite y = 0 rencontre la 
courbe Coo» en 0 en quatre points. Le point 0 est un point 
double de la courbe Coo„ et de la courbe du troisième degré 
yw, u -5 = 0 . 
De plus, la tangente aux deux brandies de la première est 
aussi tangente à une des branches de la dernière. 
Des points de rencontre de ces deux courbes, il y en a donc 
six qui se réunissent en 0. Le point 0 doit donc compter pour 
dix points de rencontre des courbes Coo, et Coo-. Ces deux 
courbes se rencontrent encore en six points qui ne sont pas des 
points de base du faisceau de premières polaires du point 0 . 
Ces six points sont donc des points doubles de courbes du 
faisceau. Ordinairement il y a douze points doubles; ce nombre 
a donc été diminué de six unités. 
Par conséquent, si des six plans singuliers qui passent par le 
point U, cinq passent par une droite et si de ces cinq plans 
quatre coïncident, ce qui donne sur la surface S 5 un point 
uniplanaire Ug (ch. III, § 3, e), la classe de la surface S 3 est 
diminuée de six unités. 
